O LQI
O LQI é um sistema de controle do tipo multivariável, ou seja, ao invés de se ter pares de controladores, teremos um único controlador que vai integrar todas as variáveis manipuladas com as controladas, a fim de se obter um ganho ótimo em cada entrada do sistema para se atingir o set-point. É um dos controladores mais eficientes que existem. Observe como ele é montado:
Na imagem abaixo temos um exemplo de como montar um LQI:
A saída do sistema é comparada com o setpoint (Ysp), gerando um erro, que por sua vez passa por um integrador e por um ganho Ki. Temos também outra malha vinda dos estados do sistema que passa por sua vez por um ganho k. No fim das contas há uma subtração do que vem de ki e k, gerando assim o sinal de controle que entra no sistema. Vale lembrar que o sinal dos estados só se é conseguido quando todos os estados são saídas. No caso do nosso reator, isso não ocorre, sendo necessário ser colocado um estimador de estados.
O primeiro passo então é linearizar a planta para se conseguir os ganhos k, ki e as matrizes e parâmetros do estimador de estados:
Aqui está o conjunto de equações que representam o reator:
dhdt = (F0-F)/(pi*r^2) ;
dcdt = (c0-c)*F0/(pi*r^2*h) - k*exp(-ER/T)*c;
dTdt = (T0-T)*F0/(pi*r^2*h) - dH/(rho*Cp)*k*exp(-ER/T)*c + 2*U*(Tc-T)/(rho*r*Cp);
dTcdt= (Tc0-Tc)*Fc/Vc-U*At*(Tc-T)/(rhoc*Vc*Cpc);
Como já foi explicado aqui como se lineariza um conjunto de equações diferenciais, você pode acessa as páginas anteriores para verificar o material de como linearizar e obter as matrizes A,B e C de um sistema. Mesmo assim, aqui abaixo temos um código pronto para ser copiado no MATLAB e executado:
Agora que temos as matrizes A,B e C, estamos aptos a calcular os ganhos K e Ki. Antes de tudo, observe que o sistema do reator tem 4 estados e 3 saídas, então o código para se obter os ganhos estão abaixo, explicados por comentários e prontos para serem executados:
A matriz encontrada no código acima é na verdade a junção das duas matrizes k e ki, que são os ganhos do controlador. Como temos 4 estados, as quatro primeiras colunas de Khat formam a matriz k e como temos 3 saídas, as 3 últimas colunas formam a matriz ki. Para separa-las, usamos o comando:
k = Khat(:,1:4)
ki = Khat(:,5:7)
Por fim, falta acharmos o ganho Ke do filtro de Kalman (estimador de estados).ç Para refrescar a memória do que já foi explicado anteriormente:
%Cálculos do Estimador
M = eye(4)*1000000; %Estados
N = eye(3)*0.000001; %Saídas
G = eye(4); %Estados
[ke,P,E]=lqe(A,G,C,M,N)
Sendo assim, os ganhos K, Ki e Ke serão utilizados na planta não linear do simulink para implementar o controle. Na próxima página mostraremos essa implementação e também os resultados obtidos.
