Vamos agora um breve tutorial de como achar as equações de espaço de estados usando um software de computador (MATLAB), que possui uma versão gratuita para estudantes e que pode ser baixado no próprio site. Primeiramente tomem o sistema de equações diferenciais abaixo como exemplo:

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As equações descrevem um sistema formado por um tanque que recebe um fluido com uma vazão F0, que é a nossa variável de entrada. Ele tem como variáveis de estado o F, que representa a vazão de saída do fluido no tanque (pode ser escrito como v.Ap), h, o nível do fluido no tanque e v o volume do fluido no tanque.

 

 

 

 

 

 

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Essas três variáveis de estado são também variáveis de saída, pois elas podem ser medidas. Além disso temos os parâmetros, onde L = 3000 ft é o comprimento da linha de saída, Ap = 7.06 ft2 é sua seção transversal, AT = 113 ft2 é a seção transversal do tanque, (roh) = 62.5 lbm/ft3 é a densidade do líquido, v é a velocidade da vazão de saída, F é a vazão volumétrica de saída, F0 = 35.1 ft3/s é a vazão volumétrica de entrada, h é o nível do tanque, g =32.2 ft/s2 é a aceleração da gravidade, t é o tempo, KF = 2.81∙10-2 lbf/(ft/s)2 ft é o fator de fricção e gc = 32.2 lbm∙ft/lbf∙s2 é o fator de transformação de unidades.

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O código comentado para colocar esse sistema em espaço de estados está aqui:

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%Essas três linhas limpam a área de trabalho do matlab:

 

clear all

close all

clc

 

 

%Declaremos todas as variáveis e parâmetros:

syms vp g L h kf gc rho ap at fo F v

 

%Aqui estão as equações de estado que tínhamos anteriormente, onde f1

%representa dv/dt, f2 representa dh/dt e f3 representa dF/dt:

 

f1 = ((g/L)*h) - ((kf*gc)/(rho*ap))*v^2;

f2 = ( fo - (v*ap) ) / at;

f3 = ap*(((g/L)*h) - ((kf*gc)/(rho*ap))*v^2);

 

 

%representamos o sistema de equações como um vetor f de equações:

f = [f1; f2 ; f3];

 

%Aqui está o vetor x de variáveis de estado estados:

x = [v;h;F];

%Aqui o vetor u de entradas:

u = [fo];

 

%Declaramos o valor dos parâmetros e constantes:

L=3000;

ap=7.06;

at=113;

rho = 62.5;

fo=35.1;

g=32.2;

kf=0.0281;

gc=32.2;

 

%Temos que definir o estado estacionário da entrada(f0):

fo= 35.1;

 

% E aqui o estado estacionário nos estados (h e v):

h=4.72;

v=4.97;

 

%vamos agora linearizar o sistema nos pontos dos estados

%estacionários declarados anteriormente. A linearização é

%imprescindível para colocar o modelo espaço de estados em

%forma de matrizes. Para isso usamos a função “jacobian”,

%que vai gerar as matrizes A e B:

 

A = double(subs(jacobian(f,x)));

B = double(subs(jacobian(f,u)));

 

 

 

 

%Declaramos a matriz C como uma matriz identidade nxn, onde n é o

%número de estados do sistema, já que o número de estados é o mesmo da

%saída. Caso algum estado não seja também uma saída, é só criar a

%mesma matriz, mas apagar a linha correspondente ao estado que não é

%saída:

 

n=3;

C = eye(n);

 

%Matriz D é nula:

D = [ ];

 

%Usando a função ss, vamos criar o sistema espaço de estados, definido

%por G, a linha abaixo vai também mostrar todas as quatro matrizes na área

%de trabalho do matlab:

 

 

G = ss(A,B,C,D)

 

%Agora podemos plotar o gráfico de 0 até o tempo 1000 s, que

%representarão as três saídas na órdem declarada anteriormente:

 

step(G,1000)

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Agora depois de escrito o código é só clicar em “run”, na área de trabalho vai aparecer as matrizes A, B, C e D e os gráficos representando o comportamento das saídas no sistema. Vocês podem testar outros sistemas de equações usando o mesmo padrão deste código.

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Veja o gráfico gerado de v, h e F respectivamente: